1.Rút gọn $a 1=\sqrt[4]{\frac{3 2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}}-\sqrt[4]{\frac{3-2\sqrt{2}}{3 2\sqrt{2}}}$ 2. cho a, b là các số thực thỏa mãn a b=5, ab=1 tính $a^3 b^3$ 3. cho m, n nguyên chứng minh m...

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

23 tháng 10 2019

1/ $a+1=\sqrt[4]{\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}-\sqrt[4]{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}$

$=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

2/ $a+b=5\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=125$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=125$

$\Rightarrow a^3+b^3=125-3ab\left(a+b\right)=125-3.1.5=110$

3/ $mn\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2.mn$

$=mn\left(\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2\right)$

$=mn\left(mn+1-m-n\right)\left(mn+1+m+n\right)$

$=mn\left(m-1\right)\left(n-1\right)\left(m+1\right)\left(n+1\right)$

$=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$

Do $\left(m-1\right)m\left(m+1\right)$ và $\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$ đều là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chúng đều chia hết cho 3 $\Rightarrow$ tích của chúng chia hết cho 36

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

23 tháng 10 2019

4/

Do $0\le x\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x-1\le0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow x\left(x-1\right)\le0$

$\Leftrightarrow x^2-x\le0\Leftrightarrow x^2\le x$

Dấu "=" xảy ra khi $\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.$

5/ Đặt $\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5a+4}=x\\\sqrt{5b+4}=y\\\sqrt{5c+4}=z\end{matrix}\right.$

Do $a+b+c=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1$

$\Rightarrow2\le x;y;z\le3$ và $x^2+y^2+z^2=5\left(a+b+c\right)+12=17$

Khi đó ta có:

Do $2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0$

$\Leftrightarrow x^2-5x+6\le0\Leftrightarrow x\ge\frac{x^2+6}{5}$

Tương tự: $y\ge\frac{y^2+6}{5}$ ; $z\ge\frac{z^2+6}{5}$

Cộng vế với vế:

$A=x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+18}{5}=\frac{17+18}{5}=7$

$\Rightarrow A_{min}=7$ khi $\left(x;y;z\right)=\left(2;2;3\right)$ và các hoán vị hay $\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)$ và các hoán vị

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=5, √a+√b+√c=3. Tính giá trị biểu thức M = $\frac{\sqrt{a}}{a+2} + \frac{\sqrt{b}}{b+2} + \frac{\sqrt{c}}{c+2} - \frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}$Bài 2: Tìm các số thực x$\geq 0$ sao cho E = $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}$ nhận giá trị nguyênBài 3: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2\\ \sqrt{y+1}+\sqrt{z-3}=3\\ \sqrt{z+5}+\sqrt{x+3}=5...

NA

Ngo Anh

4 tháng 7 2019

0

NB

Nguyễn Bùi Đại Hiệp

19 tháng 5 2020

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab-2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4+c^3+ac+2}}\le\sqrt{3}$

1

BN

bach nhac lam

19 tháng 5 2020

Đề: $\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\sqrt{3}$ ???

*Ta chứng minh : $x^4-x^3+2\ge x+1\forall x>0$

$\Leftrightarrow x^4-x^3-x+1\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)\ge0$ ( đúng )

Do đó: $VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}$ $\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}=\sqrt{3}$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=5, √a+√b+√c=3. Tính giá trị biểu thức M = $\frac{\sqrt{a}}{a+2} + \frac{\sqrt{b}}{b+2} + \frac{\sqrt{c}}{c+2} - \frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}$Bài 2: Tìm các số thực $x\geq 0$ sao cho E = $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}$ nhận giá trị nguyênBài 3: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2$ và $\sqrt{y+1}+\sqrt{z-3}=3$ và $\sqrt{z+5}+\sqrt{x+3}=5$Bài 4: CMR...

NA

Ngo Anh

4 tháng 7 2019

Câu hỏi hay

3

CV

cao van duc

4 tháng 7 2019

Bài 2 xét x=0 => A =0

xét x>0 thì $A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}$

để A nguyên thì $x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)$

=>cho $x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}$bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?

TP

Trần Phúc Khang

4 tháng 7 2019

1,Ta có $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}$

=> $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2$

$a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)$

$b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)$

$c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)$

=> $\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...$

=> $\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}$

=> M=0

Vậy M=0

Bài 1: Rút gọn biểu thức:$A=\frac{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}-2}{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}+2}\left(a>2\right)$$B=\sqrt{\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}}\left(ab\ne0\right)$Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:$E=\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2017\sqrt{2018}+2018\sqrt{2017}}$Bài 3: Chứng minh...

C

Charlet

12 tháng 8 2017

0

LT

Lê Tài Bảo Châu

27 tháng 5 2021

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. CMR:

$\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab-2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc-2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ac-2}}\le\sqrt{3}$

1

PT

Phạm Thành Đông

27 tháng 5 2021

$\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}$$\left(a,b,c>0\right)$.

Với $a,b>0$, ta có:

$\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0$.

$\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)\left(a-1\right)\ge0$.

$\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0$.

$\Leftrightarrow a^4-a^3+1\ge a$.

$\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1$.

$\Leftrightarrow\sqrt{a^4-a^3+ab+2}\ge\sqrt{ab+a+1}$.

$\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\left(1\right)$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1$.

Chứng minh tương tự (với $b,c>0$), ta được:

$\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\left(2\right)$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow b=1$.

Chứng minh tương tự (với $a,c>0$), ta được:

$\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+a+1}}\left(3\right)$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow c=1$.

Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$, ta được:

$\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}$$\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\left(4\right)$.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 3 số, ta được:

$\left(1.\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2$$\le$$\left(1^2+1^2+1^2\right)$$\left[\frac{1}{\left(\sqrt{ab+a+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{bc+b+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{ca+c+1}\right)^2}\right]$.

$\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2$$\le3\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)$.

Ta có:

$\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}$

$=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{abc}{bc+b+abc}+\frac{1}{ca+c+1}$(vì $abc=1$).

$=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{abc}{b\left(c+1+ac\right)}+\frac{1}{ca+c+1}$(vì $abc=1$).

$=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{1+ac+c}=1$.

Do đó:

$\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\le3.1=3$.

$\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\le\sqrt{3}\left(5\right)$.

Từ $\left(4\right)$và $\left(5\right)$, ta được:

$\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le$$\sqrt{3}$(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$.

Vậy $\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}$$\le\sqrt{3}$với $a,b,c>0$và $abc=1$.

$+2$nhé, không phải $-2$đâu.

Bài 1 Cho x,y,z là 3 số thực thỏa mãn điều kiện:$\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{cases}}$Tính tích P= x.y.zBài 2: Chứng minh $\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< \frac{1}{3}$Bài 3: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: A=$2\sqrt{x-1}+\sqrt{10-4x}$Bài 4: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2$Bài 5: Cho p là số nguyên tố lẻ....

RT

Rin Trương

5 tháng 8 2018

0

LD

Lê Đình Quân

18 tháng 3 2020

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

$\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\sqrt{3}$

0

TT

tống thị quỳnh

25 tháng 9 2017

1)cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2$chứng minh rằng

$\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}\ge1$

2)với a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng :$\sqrt{a^2+b^2-3\sqrt{ab}}+\sqrt{b^2+c^2-bc}\ge\sqrt{a^2+c^2}$

1

NT

Nguyễn Thiều Công Thành

25 tháng 9 2017

1,

$\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)$

1.Chứng minh $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}\ge\sqrt{y^2+yz+z^2}$2. Cho a,b,c>0. Chứng minh $\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\right)-\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\le6$3. Cho a,b>0 , n là số nguyên dương. Chứng minh $\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}\ge2\sqrt[n]{\frac{2}{a+b}}$4. Cho a,b,c >0. Chứng...

DT

Đinh Thị Ngọc Anh

9 tháng 10 2016